本文简要阐述了二阶行列式的定义。

用消元法解二元线性方程组

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y=b_{1} \\ a_{21}x+a_{22}y=b_{2} \end{aligned} \right. \end{equation} (1) $$ 为消去未知数y,用 $a_{22}$ 和 $a_{12}$ 分别乘上两方程的两端: $$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_{11}a_{22}x + a_{12}a_{22}y=b_{1}a_{22} \\ a_{21}a_{12}x+a_{12}a_{22}y=b_{2}a_{12} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 则得到: $$ \begin{equation} \left. \begin{aligned} b_{1}a_{22}-a_{11}a_{22}x=b_{2}a_{12}-a_{12}a_{21}x \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 整理得到: $$ \begin{equation} \left. \begin{aligned} b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x \end{aligned} \right. \end{equation} (4) $$
类似地,消去x,用$a_{21}$和$a_{11}$分别乘上两方程的两端: $$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_{11}a_{21}x + a_{12}a_{21}y=b_{1}a_{21} \\ a_{11}a_{21}x+a_{11}a_{22}y=b_{2}a_{11} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 则得到: $$ \begin{equation} \left. \begin{aligned} b_{1}a_{21}-a_{12}a_{21}y =b_{2}a_{11}-a_{11}a_{22}y \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 整理得到: $$ \begin{equation} \left. \begin{aligned} b_{2}a_{11}-b_{1}a_{21}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})y \end{aligned} \right. \end{equation} (7) $$


定义

  当 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \neq0$ 时,求得方程组(1)的解为,由(4)(7)得来: $$ x= \frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} ,y= \frac{b_2a_{11}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} (8) $$   式子(8)中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 是由方程组(1)中的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组(1)中的位置,排成二行二列的数表: $$ \begin{equation} \left. \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right. \end{equation} (9) $$ 表达式 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 称为数表(9)所确定的「二阶行列式」,并记做: $$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right| \end{equation} $$
如图所示 $a_{11}$ 到 $a_{22}$ 称为「主对角线」,而 $a_{12}$ 到 $a_{21}$ 称为「副对角线」: $$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&&a_{12}\\ & \ddots & \\ a_{21}&&a_{22} \end{matrix} \right| \end{equation} $$ 二阶行列式便是「主对角线」上的两元素「之积」减去「副对角线」上的两元素「之积」的「差」。 $a_{12}$ 称为行列式的「元素」,下标中的「1」称为「行标」,「2」称为「列标」,表明该元素位于第1行第2列。 利用二阶行列式的概念,(8)式中的 x, y 的分子也可以写成行列式: $$ b_1a_{22}-b_2a_{12}= \left| \begin{matrix} b_{1}&a_{12}\\ b_{2}&a_{22} \end{matrix} \right| , b_2a_{11}-b_{1}a_{21}= \left| \begin{matrix} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{matrix} \right| $$ 若记 $$ D= \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right| , D_1= \left| \begin{matrix} b_{1}&a_{12}\\ b_{2}&a_{22} \end{matrix} \right| , D_2= \left| \begin{matrix} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{matrix} \right| $$ 那么(8)式可写成 $$ x= \frac{D_1}{D}= \frac{ \left| \begin{matrix} b_{1}&a_{12}\\ b_{2}&a_{22} \end{matrix} \right| }{ \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right| } , y= \frac{D_2}{D}= \frac{ \left| \begin{matrix} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{matrix} \right| }{ \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right| } $$ 注意这里的分母 $D$ 是由方程组(1)的系数所确定的「二阶行列式」,称为「系数行列式」; $x$ 的分子 $D_1$ 是用常数项 $b_1, b_2$ 替换 $D$ 中「第一列」的元素 $a_{11}, a_{21}$ 所得的二阶行列式; $y$ 的分子 $D_2$ 是用常数项 $b_1, b_2$ 替换 $D$ 中「第二列」的元素 $a_{21}, a_{22}$ 所得的二阶行列式。

示例

1. 下为一个「二阶行列式」,其值为:$1*4 - 2*3 = -2$ 。 $$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix} \right| \end{equation} $$
2. 求解二元线性方程组 $$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} 3x-2y=12\\ 2x+y=1 \end{aligned} \right. \end{equation} $$
$$ D=\left| \begin{matrix} 3&-2\\ 2&1 \end{matrix} \right| $$ $$ x=\frac { \left| \begin{matrix} 12&-2\\ 1&1 \end{matrix} \right| } { \left| \begin{matrix} 3&-2\\ 2&1 \end{matrix} \right| } = \frac{12-(-2)}{3-(-4)} = \frac{14}{7} =2 , y=\frac { \left| \begin{matrix} 3&12\\ 2&1 \end{matrix} \right| } { \left| \begin{matrix} 3&-2\\ 2&1 \end{matrix} \right| } = \frac{3-24}{3-(-4)} = \frac{-21}{7} =-3 $$

总结

行列式表示的是一种运算,只是表现形式为数表,其值为 主对角线之积减去副对角线之积

二阶行列式表示 $2^2$ 即4个数组成的数表,从外形上来看,行列式总是一个正方形。

二元一次方程组的解可由其元素分别组成的三个二阶行列式计算得出。