三阶行列式

定义

设有9个数排成3行3列的数表: $$ \begin{equation} \left. \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \right. \end{equation} (1) $$ 记: $$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \right| \end{equation} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} (2) $$ (2)式称为数表(1)所确定的三阶行列式。
可以看出,三阶行列式依然适用「对角线法则」。


示例

例一 计算三阶行列式

$$ D=\begin{equation} \left| \begin{matrix} 1&2&-4\\ -2&2&1\\ -3&4&-2 \end{matrix} \right| \end{equation} $$

 按对角线法则,有

$$ D=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)\\ =-4-6+32-4-8+24\\ =-14 $$

例二 求解方程

$$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} 1&1&1\\ 2&3&x\\ 4&9&x^2 \end{matrix} \right| \end{equation} =0 $$

方程左端的三阶行列式 $$ D=3x^2+4x+18-9x-2x^2-12=x^2-5x+6 $$ 由 $x^2-5x+6=0$ 得判别式 $\Delta=b^2-4ac=5^2-4*6=1$, $$ x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\frac{5\pm1}{2} $$ 解得 $x=2$ 或 $x=3$ 。