为了给出 $n$ 阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构。

三阶行列式定义为 $$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \right| \end{equation} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} (1) $$

容易看出:

  • (1)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素位于不同的行及不同的列。因此,(1) 式右边的任一项除正负号外都可以写成$a_{1p1}a_{2p2}a_{3p3}$,这里第一个下标(行标)排成标准次序 $123$,而第二个下标(列标)排成 $p_1p_2p_3$,它是 $1, 2, 3$ 三个数的某个排列。这样的排列共有6种,对应(1) 式右端的6项。

  • 各项的正负号与列标的排列对照:
    • 带正号的三项列标排列是: $123, 231, 312$
    • 带负号的三项列标排列是: $132, 213, 321$
    • 经计算可得知前三个排列都是偶排列:$123, t=0$; $231, t=2$ ; $312, t=2$
    • 后三个排列都是奇排列:$132, t=1$; $213, t=1$; $321, t=3$
    • 因此各项所带的正负号可以表示为 $(-1)^{t}$,其中 $t$ 即为排列的逆序数
总之,三阶行列式可以写成 $$ \begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \right| \end{equation} = \sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}a_{3p3} (2) $$

其中 $t$ 为排列 $p_1p_2p_3$ 的逆序数,$\sum$ 表示对 $1, 2, 3$ 三个数的所有排列取和。

下面将行列式推广到一般形式。

定义

设有 $n^2$ 个数,排成 $n$ 行 $n$ 列的数表 $$ \begin{equation} \left. \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right. \end{equation} (3) $$ 作出表中位于不同行不同列的 $n$ 个数的乘积,并冠以符号$(-1)^t$,得到形如 $$ (-1)^ta_{1p1}a_{2p2}\dots a_{np_n} (4) $$ 的项,其中 $p1p2\dots pn$ 为自然数 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列,$t$ 为这个排列的逆序数。由于这样的排列有 $n!$ 个,因而形如 (4) 式的项共有 $n!$ 项。所有这 $n$ 项的代数和 $$ \sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}\dots a_{np_n} $$ 称为 N 阶行列式 ,记作 $$ D=\begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right| \end{equation} , $$ 简记作 $det ( a_{ij} )$,其中数 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(i,j)$元。

主对角线以下(上)的元素都为 0 的行列式叫做上(下)三角形行列式;特别,主对角线以下和以上的元素都为 0 的行列式叫做 对角行列式

证明以下三角形行列式

$$ D=\begin{equation} \left| \begin{matrix} a_{11}&&&\\ a_{21}&a_{22}&&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right| \end{equation} =a_{11}a_{22}\dots a_{nn} (5) $$ $$ D=\begin{equation} \left| \begin{matrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{matrix} \right| \end{equation} =\lambda_1\lambda_2\dots \lambda_n (6) $$

  • (5) 由于当 $j > i $ 时,$a_{ij} = 0$,故 D 中可能不为0的元素 $a_{ip_i}$,其下标应有 $p_i <= i$,即 $p_i <= 1, \dots, p_n <= n$,而 $p_1+\dots+p_n=1+\dots+n$,因此 $p_1 = 1, \dots, p_n = n$,所以 D 中可能不为 0 的项只有一项 $(-1)^ta_{11}a_{22}\dots a_{nn}$。此项的符号 $(-1)^t = (-1)^0=1$ ,所以 $D = a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$。
  • (6) 所有对角线的乘积仅有主对角线上有一个不为0,其余同上。